Ein Würfel oder drei Würfel, das ist hier die Frage

“To be, or not to be, that is the question.”

― Hamlet III, 1. (Hamlet) (William Shakespeare)

Stell dir folgendes Szenario vor: eines Nachts läufst du auf der Straße, und ein kleiner Kerl in Anzug mit weißem Gesicht und roten Backen kommt dir auf seinem Kinderrad mit Stützrädern entgegen und faselt irgendwas davon, dass er ein Spiel spielen will. Du könnest nur gewinnen, behauptet er. Und der ganze Spaß koste auch nur 5 Euro. Auch, wenn er aussieht wie einer der Hütchenspieler, die dich erst letzte Woche über den Tisch gezogen haben, hörst du dir sein Angebot an.

Es soll mit ganz normalen, nicht gezinkten (Spiel-)Würfeln, welche die Zahlen von Eins bis Sechs alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit anzeigen, gewürfelt werden. Du darfst entweder ein Mal mit einem Würfel werfen und auf die gewürfelte Augenzahl drei addieren oder ein Mal mit drei Würfeln gleichzeitig werfen (welche sich beim Wurf und darauffolgendem Flug natürlich nicht berühren bzw. beeinflussen sollen) und auf die höchste dieser Augenzahlen eins addieren. Die jeweilige Zahl gewinnst du in Euro.

Wie heißt der Herr auf dem Kinderrad? Lohnt sich das Spiel wirklich für dich, oder lügt der Herr dich an? Welche der beiden Varianten lohnt sich prinzipiell mehr, das heißt welcher Erwartungswert ist höher? \(E(X+3)\) oder \(E(Y+1)\), wobei \(X=\{\text{Augenzahl aus dem Wurf von einem Würfel}\}\) und \(Y=\{\text{Höchste Augenzahl aus dem gleichzeitigen Wurf von drei Würfeln}\}\).

Kann man das Problem auch (leicht) auf mehr Würfel erweitern?

Idee des Rätsels von Jan Hühnerbein.